내가 수학점수를 60점 -> 100점으로 올린 방법
또 방명록에 답글 달다가 이런 방법은 좀 같이 공유하면 좋겠단 생각이 들어 블로그 글로 씁니다. 수학공부 방법론에 대한 건데요…
수학점수 하나로 대학간 포프
아시는 분들은 아시겠지만 저 연세대 법학과 96학번입니다. 저 때는 본고사 시절이었지요. 본고사가 뭐냐하면… 수능끝나고 지원한 대학에 가서 시험을 봐야하는 제도였습니다. 본고사 문제의 난이도는 수능보다 한 백만배 어렵죠 -_-. 현재는 보통 논술만 대학에서 보는거 같지만 저희때는 꽤 많은 과목을 시험을 봤습니다. 제가 연대갈 때는 논술/영어/수학을 본고사로 봤었죠. 물론 본고사 점수 하나만으로 대학입학이 좌우되는건 아니었습니다. 학교내신과 수능점수 그리고 본고사 점수를 비율적으로 반영했었죠. 제 기억으론 연세대 비율이
학교 내신 : 수능 : 본고사 = 40: 30: 30
이었던걸로 기억합니다. (40:20:40 또는 40:40:20 이었는지도… 기억이 안나요! 16년 전이야! -_-)
물론 본고사를 보기 싫으면 특차로 들어가는 법도 있었습니다. 원래 제가 수능 모의고사 점수가 매우 좋았었기에(전국 0.08% 미만이었던 걸로 기억… 0.8%인가? 이것도 격이 잘… ) 그냥 특차로 연대를 들어갈 생각이었고 안정빵이었는데…. 실제 수능을 개판쳐서.. (200점 만점 시대에 20점 이상 하락.. -_-) 본고사까지 쳐서 갔어야 했죠.
그 당시 연대 본고사 점수가 이랬어요.
- 논술: 100점
- 영어: 50점
- 수학: 50점
본고사 결과를 연대에서 발표하진 않았지만 시험을 보고 나와서 애들하고 대충 맞춰보니 제점수가 다음과 같더라구요.
- 논술: 객관식이 아니라 판단하기 어려움. 그냥 다충 남들 쓰는만큼 쓴 듯
- 영어: 친구들 평균 35점 맞을 때 혼자 19점 맞았음. (제가 영어를 참 못했거든요 -_-)
- 수학: 친구들 평균 15점 맞을 때 혼자 47점 맞았음.
그리고 합격했죠.. 한마디로…. 영어에서 남들보다 16점 까먹었지면 수학에서 32점 추가해서 최종 +16로 합격했단 거죠 -_-;
그럼 사람들은 '넌 원래부터 수학을 잘했구나~' 라고 생각할 수 있지만…. 전 사실 수학 잘하게 된건 고2/고3이 전부였다죠 -_-;
한 눈에 보는 제 수학점수 역사
일단 학년에 따라 제 수학점수가 어땠는지부터… (참고로 8학군 점수이니… 결코 쉬운 문제는 아니었다고 생각합니다)
- 중2: ??점. 기억 안남. 중3때 보단 높았음. 스케이트보드 타다가 머리가 깨져서 격이 안나는 걸수도 있음 -_-;
- 중3: 60점대. 삼각법에서 개판치면서 엄청 떨어졌음.
- 고1: 60~70점대로 기억. 일반수학은 여전히 삼각법이 큰 비중을 차지해서…
- 고2: 96점 아니면 100점. (실수로 한문제 틀리냐 마냐 차이). 수1시절임
- 고3 1학기: 96~100점. 학교에서 수1을 반복했던 걸로 기억. 이 때부터 학교에서 수학 1인자로 이름을 날렸죠. 전교 1~2등 하는 애들도 수학은 저에게 물어봤어요. (전체 성적에 비해 수학만 잘했거든요. 고3때 내신이 전교에서 상위 10프로.. -_-)
- 고3 2학기: 96~100점. 학교에서 일반수학을 반복했던 걸로 기억. 이 때가 고1때 개판치던 일반수학을 드디어 마스터 한 때죠.
저희는 본고사 시절이었던 지라 수능모의고사외에도 종로학원에서 주최하는 본고사 전국 모의고사도 있었어요. 전교생이 아니라 상위 몇프로 학생들만 봤을 거에요. 어차피 중상위권 대학에서만 본고사를 봤었거든요. 고3 1학기때 2번, 2학기때 2번해서 총 4번 본 걸로 기억하는데… 이것도 점수가 대충 다음과 같았죠. (난이도는 거의 딴나라임… 대학 본고사라 -_-)
- 고3 1회: 7점인가…? (100점 만점임 -_- ㅋㅋㅋ)
- 고3 2회: 70점 이상? (점수는 낮아 보이지만 이정도 점수면 상위 1프로였던 걸로 기억)
- 고3 3~4회: 80점 이상?
고3 담임이 제 고2 담임이기도 했는데 이미 제가 수학을 엄청 잘하는걸 아니 종로학원 본고사 모의시험에 대한 기대가 크셨거든요. 근데 1회에 7점 받아 왕실망시켜주고 2회에는 상위 1프로 받자 제가 반항한다고 생각하셨다죠 -_-;;; 근데 사실 문제는 모의고사 1회차는 전부 일반수학에 관한 거였기에 제가 잘할수가 없었어요. (고1때 점수를 보세요 ㅎㅎㅎ). 다행히 2회는 수1 위주였기에 잘봤고, 3~4회는 수1학고 일반수학 전부다 포함이었지만 그때는 이미 일반수학도 마스터 했기에 점수는 여전히 높았죠.
나에게 맞는 수학공부법을 찾는 것이 젤 힘들었다
뭐, 제가 하고 싶은 말은 전 수학을 2년만에(고2, 고3) 마스터 했다는거죠. 물론 그전에도 수학점수를 높히기 위해 나름 공부는 했어요. 근데 고2때까지는 아무리 별짓을 해도 안올랐죠. 제가 맞는 공부법을 찾지 못해서 였다고 생각해요.
난 암기력이 딸리거등~
사실 전 중학교 졸업할 때까지 전혀 사교육을 받은 적이 없습니다. (물론 초등학교 4학년때 친구들이 구몬수학 하는게 너무 부러워서 졸라서 잠시 했었지만 역시 금방 실증 느껴서 결국엔 관둔… ㅎㅎ 별 도움도 안되었었어요.. ㅎㅎ)
생각해보니 대학갈떄까지 독서실 같은데 다닌적도 없죠. 그냥 제 방에 틀어박혀서 라디오 틀어두고 공부하는게 전부였습니다. 야자도 안했어요. -_-
보통 학교공부에만 의존했는데 갑자기 중3때 점수가 많이 떨어진 이유가 삼각법 때문이었죠. 코사인이나 사인이니….. 너무나 공식암기 위주로 학교에서 가르쳐서 제 머리가 따라갈 방법이 없었죠. 나중에 깨달은 거지만 전 암기위주의 과목은 점수가 언제나 비교적으로 낮더라구요? 특히 역사는 쥐약 -_-;
중3을 졸업하면서 배치고사라는 놈을 보면 대략 고등학교 입학까지 몇개월 남는 시간이 있습니다. 그 동안에 난생 처음 사교육 다운(?) 사교육을 받아봤죠. 하지만 원래 돈 많이 쓰는걸 좋아하는 인간이 아니라 단과학원이란 놈을 다닙니다. 고등학교 국영수를 미리 좀 배워두는게 좋다는 친척들의 말을 들은 거지요. 단과학원이란 한 4~10명 모아놓고 가르치는 소수정예 학원이 아닙니다. 강의실에 애들 수백명 채워넣고 강사가 칠판에 써가며 강의하는 수준이죠. 사실 생각해보면 학교보다도 별로인 환경인 거 같은데…. 가격이 매우 쌌었습니다. 몇만원 수준 -_-…. 하지만 이 때 쉬는 시간마다 책을 봐가면서 C/C++을 땠으니.. 별 불만은…….. -_-;
결과는? 조금 나아졌습니다. 아주 조오금…. 전교 30프로로 올라갔습니다. 근데 수학점수는 오르지 않았습니다. 버럭 -_-; 여전히 문제는 자잘한 공식들을 암기하려고 노력해서 였던 것 같습니다. 제가 암기력이 정말 안좋아서 그 모든 공식들을 절대 암기 못하거든요.
하지만 난 추론 능력이 좋다
고2 첫 면담때, 담임선생님이 이러시더군요.
응? 어디가겠다고? 연세대..? 허허허… 농담이지?… 뭐 아니라고? 그…그래… -_-;;; 넌 현재 내신이 상위 30프로정도가 되니 여기에 수학/영어 점수를 끌어올리면 가능하겠다. 허…허…허.. -_-;;;
그래서 수학을 올릴 생각으로 단과학원 보다 조금 비싼 학원을 처음 다녀봤습니다. 한 십몇만원 했던거 같아요. 근데 웃긴게 사실 이 선생님에게 배운 게 딱히 있는게 아니고… 이 학원다니면서 저 나름대로의 공부방법론을 찾은게 컸죠. 그리고 그 방법론이 정립된 이후론 이 선생이 앞에 서서 칠판에 뭔 설명을 하던 말던 전 신경안쓰고 그냥 제 방법으로 혼자 문제를 풀고 있었습니다. 그래서 결국 이 학원을 그만 뒀죠.
그래서 내 공부법은?
그래서 제 공부법은 어땠냐고요? 암기력이 약하다 보니 그보다는 추론능력을 최대한 살릴 수 있는 방법을 택했습니다. 즉,
"아주 간단한 기초공식만 외우고 나머지는 필요할때 다 추론해낸다."
라는 개념이었죠. 그리고 그 기초공식이 몸에 베고, 언제라도 그로부터 다른 공식들을 추론해낼 수 있다는 확신이 들때까지 혹독한(?) 트레이닝을 했죠. 이러면 뭔가 졸라 어려운 거 같은데 사실 정석만 팠습니다. -_-;;;; 수1과 일반수학 정석에 있는 모든 문제를 하나도 안틀리고 풀수 있을 정도로 팠습니다.
막연하게 "정석만 파라!"라고 하면 정석을 처음부터 끝까지 반복해서 풀거나 아니면 틀릴때마다 해답을 보고 이해한 뒤 1분만에 문제 다시 풀수 있다고 만족하고 관두시는 분들이 많더라구요. 첫번째 방법은 시간 낭비고, 두번째 방법은 방금전에 본 해답 또는 공식을 단기적으로만 암기한 거라서… 나중에 시간이 지나면 다 까먹을수 있단 단점이 있죠.
난 한놈만 팬다
그래서 제가 택한 방법은 기본적으로 첫번째 방법을 기초로 정석을 챕터별로 반복해서 풀되, 내가 못푸는 문제들만 집중적으로 반복해서 푸는 거였죠.
이 방법을 좀 더 자세히 설명하면 다음과 같습니다. 참고로 전 연필(또는 샤프)만 썼습니다. 제 방법은 지우개로 지울 일이 많거든요.
1. 해당 챕터에 있는 문제들을 처음부터 끝까지 다 푼다.
여기서 주의할 점은 본문에 있는 공식이니 설명을 읽지 않는 겁니다. 본문 중간에 들어가 있는 문제들과 챕터 젤 뒤에 있는 문제들을 다 이렇게 풉니다.
2. 답을 맞추며 맞춘 문제는 지워버린다. 틀린 문제 옆에는 체크마크를 넣는다.
여기서 주의할 점은 해답에 나온 설명을 아직 보지 마시라는 겁니다. 그리고 대충 때려서 맞춘 문제들도 틀린 문제로 간주해야 합니다.
여기서 맞춘 문제들은 따로 공부하지 않아도 언제라도 맞출수 있는 문제들이니 그냥 문제 자체에 크게 X자를 그어버려도 됩니다.
여기서 틀린 문제들은 문제 번호 옆에 체크 마크를 하나 추가하고, 전에 풀면서 낙서해놓은 것들을 모두 지우개로 지웁니다. (나중에 다시 풀 때, '아. 이게 전에 틀린 답이없으니 다른 답을 골라야겠군?' 이란 생각이 들지 않게 하기 위해서입니다. 처음부터 정석 책위에 낙서를 안하는것도 좋은 방법입니다만.. 전 게을러서 그냥 낙서하고 지웠고.. 낙서때문에 종이에 자국이 남으면 모든 답에 동그라미를 쳐버려서 전에 선택한 답이 뭔지 추측할 수 없게 만들었습니다 -_-)
이 단계의 목적은 이미 잘 풀수 있는 문제들을 찾아내는 겁니다. 이 과정을 거치면 딱히 따로 공부하지 않아도 이미 풀수 있는 문제들을 모두 추려냈습니다. 이 문제들은 몇년이 지난 뒤에도 이미 알고있는 공식을 사용해서 또는 그 공식에서 따른 공식을 추론해내서라도 풀수 있는 것들이니 절대 신경 안쓰셔도 됩니다.
3. 이제 본문에 있는 설명들을 읽는다
드디어 공부다운(?) 공부를 할 때입니다. 본문에 있는 설명들을 읽으며 "이해"를 하려고 하세요. 공식 나오는대로 대충 암기해봐야 몇 달 지나면 다 까먹습니다. 새로운 공식/이론이 나올 때마다 이미 알고 있는 다른 공식/이론에서 추론해낼수 있는지 고민해 보세요. 추론이 가능하다면 이 따위 공식 따로 안외워도 되지요.
단 추론이 불가능한 거라면 가장 외우기 쉬운 방법으로 외우셔야합니다. 일례로 전 삼각법이 언제나 쥐약이었는데 결국엔 그냥 코사인 그래프가 어떻게 생겼는지 기억하는 걸로 해결했습니다. 사인과 코사인은 사실 그래프 모양은 똑같거든요. 차이라면 각도=0에서 결과가 1 이냐 0이냐 차이… 그거따라 좌우로 옮겨주면 끝… 그리고 왠만한 공식들은 그래프로부터 추론이 가능해요….. -_-
이렇게 해버릇하면 정작 암기가 필요한 공식이 꽤 줄어듭니다. 머리가 행복해지죠. -_-;;;
4. 다시 해당 챕터에 있는 문제들을 푼다.
단, 체크마크 해놨던 문제들만 풉니다.
5. 답을 보고 틀린 문제들에 체크마크를 하나 더 추가한다. 맞춘 문제들 옆에 체크마크는 지우지 않는다.
여기서 맞춘 문제들은 본문을 읽으며 이해한 내용들을 잘 적용해서 맞춘 문제입니다. 하지만 단기 기억력에 의존하고 있을 가능성도 있지요. 따라서 체크마크를 지우진 않습니다. 그냥 맞췄다는데에 뿌듯해하세요.
하지만 틀린 문제들은 본문에서 배운 내용을 아직도 제대로 적용하지 못했단 증거니 체크나크를 하나 더 추가합니다. 그리고 이제 해답에 나온 설명을 읽으며 이해를 합니다. 그게 이해되었다면 다시 한 번 문제를 풀어보면서 해답에 나온 것과 동일한 답을 계산해낼수 있는지 해보세요. 몇번 반복해서 될때까지 합니다. 하지만 체크마크를 지우지는 마세요.
6. 이제 며칠 쉽니다.
쉬는 이유는 단기적으로 암기한 내용들이 저절로 사라질 기회를 주는 겁니다. 단기기억력에 의존해서 당장 풀었다고 신나하고 까먹는 것보다는 차라리 1주뒤에도 풀수 있다고 확인하고 지워버리는 게 좋죠.
전 암기력이 보통 48시간을 넘지 않는 놈이라 2일정도 쉬었는데 원래부터 쓸모없이(?) 암기력이 좋으시다면 더 쉬셔도 될 거 같습니다. 그 쉬는 기간이 길어진다면 그동안 다음 챕터를 시작하세요.
7. 체크마크 되어있는 문제들을 다시 풉니다.
체크해놓은 문제들을 한 번씩 풀면서 답을 맞춘 놈은 체크마크를 하나씩 지워나갑니다. 틀리면 체크를 하나씩 추가합니다. 해답지에 나온 설명을 보면서 다시 이해하려고 노력도 하세요.
체크마크가 남아있는 문제가 없을 때까지 이 과정을 2일(또는 본인에게 맞는 주기)마다 한 번씩 반복하세요. 더이상 체크마크가 달린 문제가 남아있지 않다면 그 챕터를 마스터 했다고 생각하셔도 됩니다. 하지만 최종점검도 해야겠죠?
8. 챕터 젤 뒤에 있는 문제들을 다시 한 번씩 다 풀어본다.
이제 챕터 젤 뒤에 있는 문제(본문에 있는 건 무시하셔도 됩니다)들을 전부다 풀어봅니다. 단, 처음에 X로 지워버렸던 문제들은 푸시지 마세요. 여기서 다 맞추시면 진짜 마스터 한거고. .틀린거 있으면 7번 과정을 다시 반복해주시면 됩니다.
글 다 쓰고 보니
글 다 쓰고보니 사실 이런 방법을 통해서 얻은 게 문제에 적용해야하는 이론/공식을 재빨리 찾아낼 수 있는 자세가 몸에 벤거 같네요? 암기가 아니라 몸에 벤… 전 이걸 그냥 장기기억력 + 추론능력이라 생각하고 있습니다.
이게 저에게 맞는 방법이란걸 확신하게 또다른 계기가 BCIT다닐 때였는데. 95년 이후에는 미분을 한번도 써볼일이 없었거든요? 근데 2005년도에 BCIT 다니면서 다시 한번 쓸일이 생겼죠. 미분 문제를 다시 처음보니 푸는데 몇 분 걸렸지만(오랫동안 안쓴 놈이니 생각해는데 시간이 걸리더군요) 첫문제만 그랬지 두번째 문제부터는 거의 즉각적으로 풀리더라구요.
뭐 이정도면 꽤나 황당했던 제 수학공부법 소개가 끝난 것 같습니다. 사실 꽤 오래전에 했던 방법이라 자세한 디테일은 조금씩 틀릴 수도 있지만 기본적인 방법은 여전히 저에게 맞는 방법이라고 확신합니다. 그덕에 BCIT에서 대학수학 들을때도 거의 100점으로 졸업했습니다
(앗.. 또 자랑질 해버렸다…… 또 '자뻑'으로 태그 달아야지…. -_-;;;;)
따른건 자뻑이지만 꽃미남만은 진실인 게임개발자 포프였습니다.
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